2007/05/31

地球の裏側までトンネルを掘ってボールを落としたらどうなるかという話題になった。空気がなくて、他の天体の重力の影響を無視できて、トンネルが地球の重心を通る直線で、トンネルの壁が重力によって押しつぶされなくて、なんかほかにもいろいろ条件を満たすなら、ボールは反対側の地表付近まで届く。トンネルの途中でぴたっと止まっちゃうことはない。力学は昔も今もさっぱり自信がないんだけど、その理由を文章で説明するとしたらこんな感じになると思う。
ボールはトンネルの真ん中まで落ちるあいだ、つねに一定の加速度で移動する。
つまり、どんどん速度が増える。
トンネルの真ん中付近を突っ切るときが最速で、そこから先は正反対の向きの加速度で移動する。
つまり、だんだんゆっくりになる。
そのうち前半の行程で得たエネルギーを使い果たし、反対側の地表付近で一瞬静止して、今度はもときた方向へ落ちていく。
以下繰り返し。

で、こういう問題を考えるときは「地球の中心に全質量が集中している」と見たてることになっているわけだけど、その理由を説明するのがむずい。この場合の「見たて」は、たとえば数学で「0.99999… = 1」とか規定するのと違って、そう考えると議論に都合がいいからという性質だけのものじゃなく、もっと本質的な話だったはず(もちろん、どんな理学的な説明だって「そのほうが都合がいいから」って言い方はできるんだろうけど……)。で、昼休みにWikipediaを見てみたら、あっさり証明がのっていた。(読んではいない)

Shell theorem
http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_sphere_theorem

もしボールがトンネルを移動している最中に球に地球が真っ二つに割れたら?という話も出たけど、それまでにボールが得ている運動エネルギーと変化した周囲の重力から得るエネルギーとが均衡するように動くとしか……(実際には地球を真っ二つに割ることになった外因からのエネルギーがいちばん大きく影響するんじゃない?)

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